حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات پاره ای با روش پترو-گالرکین موضعی بی نیاز از شبکه

مدل سازی پدیده های فیزیکی اغلب منجر به تولید معادلات دیفرانسیل با مشتقات پاره ای می شوند. اما یافتن جواب تحلیلی برای این معادلات همیشه امکان پذیر نیست. بنابراین استفاده از روش های عددی برای حل این معادلات اجتناب ناپذیر به نظر می رسد. اگرچه روش های عددی سنتی مبتنی بر گسسته سازی شبکه مانند روش تفاضلات متناهی (‎‎‎fdm)، روش عناصر متناهی (fe‎m) ، روش حجم های متناهی ((fvm و روش عناصر مرزی (bem) ‎‎برای حل مسایل در زمینه های مختلف علمی به طور چشم گیری توسعه یافته اند، اما استفاده از این روش ها هنوز دارای معایبی است. چگونگی رویارویی با مرزهای نامنظم در روش تفاضلات متناهی، ذخیره سازی حجم وسیعی از اطلاعات در روش عناصر متناهی و مسایل مربوط به محاسبه ی جواب های اساسی‎ در روش عناصر مرزی از جمله مشکلات مربوط به این روش هاست. تولید شبکه های مناسب و وابستگی زیاد دقت این روش ها به چگونگی شبکه بندی دامنه ی فیزیکی مساله، از دیگر مشکلات عمده در بین تمامی این روش هاست. اگرچه در دهه های گذشته تلاش های زیادی در زمینه تولید شبکه‎ صورت گرفته است، اما همچنان تولید شبکه فرآیندی پیچیده و زمان بر است. تلاش برای غلبه بر این مشکلات، در طی ‏سه دهه ی گذشته موجب پیدایش خانواده ای دیگر از روش های عددی برای حل معادلات با مشتقات پاره ای، تحت عنوان روش های بی نیاز از شبکه شده است که در طی سال های اخیر توجهات زیادی را به خود جلب کرده است. هدف اولیه ی این روش ها حذف یا حداقل کاهش مشکلات ناشی از تولید شبکه است. در این روش ها به منظور غلبه بر مشکلات ناشی از تولید شبکه، دامنه و مرز مساله براساس نقاط گره ای‎‎ گسسته سازی می‎شوند‏، که در حالت کلی این نقاط به طور نامنظم و بدون ارتباط از پیش تعیین شده ای در دامنه پراکنده شده اند . اگرچه این روش ها در مقایسه با قدمت روش های مبتنی بر شبکه، هنوز در گام های ابتدایی اند، اما مزایای این روش ها باعث گسترش چشمگیر آن ها شده است. با توجه به عدم نیاز به ساختار شبکه ای، این روش ها برای مسایلی با دامنه های پیچیده یا دامنه هایی که از نظر شکل هندسی تغییر می کنند، به خوبی قابل پیاده سازی هستند. همچنین انعطاف پذیری بالای این روش ها، امکان توسیع آن ها را به ابعاد بالاتر فراهم می آورد. علاوه بر این در این روش ها می توان با افزودن نقاط گر‏هی در ناحیه ای دلخواه از دامنه، دقت روش را در آن ناحیه افزایش داد. از دیگر مزایای این روش ها مرتبه بالای پیوستگی توابع شکل‎‎ است. در کنار مزایای ذکر شده برای روش های بی نیاز از شبکه‏، این روش ها دارای معایبی نیز هستند. توابع شکل مورد استفاده در این روش ها اغلب در خاصیت دلتای کرونکر صدق نمی کنند بنابراین برای اعمال شرایط مرزی دیریکله نیازمند تکنیک های خاصی هستیم.‎ از طرفی برخلاف روش عناصر متناهی‏، توابع شکل استفاده شده در روش های بی نیاز از شبکه چندجمله ای نیستند و مشتق مرتبه ‎‎‎‎l‎‎‎‏-ام این توابع با افزایش ‎l‎‎‎‏‏، افزایش می یابد. به علاوه ماتریس سختی معادلات دیفرانسیل با ضرایب ثابت‏، به طور دقیق قابل محاسبه نیست. بنابراین توابع شکل مورد استفاده در روش های بی نیاز از شبکه فاقد این دو خصوصیت‎‎ نسبت به توابع شکل مورد استفاده در روش عناصر متناهی هستند. از این رو برای محاسبه انتگرال توابع شکل روش های بی نیاز از شبکه‏، نیازمند روش های عددی با مرتبه دقت بالا هستیم که باعث افزایش هزینه ی محاسباتی می شود‎‎. در این پایان نامه روش پترو-گالرکین موضعی بی نیاز از شبکه برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات پاره ای را معرفی کرده و کارایی این روش را برای حل معادلات مستقل از زمان خطی و غیرخطی و معادلات وابسته به زمان مورد بررسی قرار خواهیم داد. با ارایه ی مثال ها و نتایج عددی دقت و کارایی روش را نشان می دهیم.‎‏